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quarta-feira, 12 de agosto de 2020

Vetores-Operações com vetores- tratamento Geométrico- Aprenda a adição ou diferença de vetores

 Regras básicas para somar vetores: 

  • Verificar a  ORIGEM
  • A extremidade de um (onde termina um) com a origem de outro.
  • Se há algum vetor negativo, ou subtração de vetores é o mesmo raciocínio para a adição de vetores, a diferença é que se inverte a seta, ou seja, o sentido muda.

Resoluções :

 

Você pode perceber que a origem está nesse ponto vermelho, e que a extremidade de u é onde começa v.  O mesmo ocorre no paralelogramo, perceba que o vetor v (em laranja) começa onde termina o vetor u e que a soma nos dois casos está sendo feita/desenhada a partir da origem. 

 Você deve saber o conceito geométrico de igualdade, paralelismo de vetores para saber resolver os exercícios.

Vamos para a resolução de exercícios:

Considere a origem no ponto A (em vermelho) realizar as seguintes operações: 



terça-feira, 11 de agosto de 2020

Decimais- Parte 01- Aprendendo Frações



 

Hoje vamos falar sobre frações! 

Na realidade tenho algumas postagens sobre o conceito, mas achei apropriado falarmos mais uma vez sobre o conceito.

Como a explicação é com imagens clique em cada imagem para ampliar e visualizar melhor.

Se você deseja aprender operações com frações   clique aqui ou pesquise o assunto em nosso blog, pois temos várias postagens sobre o assunto.




Vamos lá, mais imagens!










Finalizamos a nossa primeira parte sobre frações!






domingo, 13 de janeiro de 2019

Plano Cartesiano


Vamos ver hoje o chamado plano cartesiano. Isso é praxe em todos os níveis escolares. Ele sempre estará presente nas nossas continhas e é nele que precisamos visualizar a matemática da coisa.



Esse é o plano cartesiano de duas dimensões (2D). Olhe para o chão da sua casa. Ele é 2D. Ser duas dimensões significa que você pode ir pra frente, para trás, para esquerda ou para direita (lados). Já um plano 3D é aquele em que você tem a altura, por isso olhe para o chão da sua casa e para as paredes da sua casa. Ser 3D significa que além de andar para frente ou para trás, e para os lados, você também pode pular, ou abaixar. 
O plano cartesiano é formado por duas retas (essas linhas aí em cima) que são perpendiculares entre si. Ser perpendicular significa que elas formam um ângulo de 90° e um ângulo de 90° é aquele ângulo que os cantos de uma parede quadrada ou retangular formam. Ainda não entendeu? Dois eixos perpendiculares são formados por duas linhas retas, uma horizontal (deitada) e outra vertical (em pé).
Quantos números cabem em um plano cartesiano? Infinitos, não é à toa que em alguns gráficos aparece o símbolo de infinito (aquele 8 deitado que você pode ver na figura acima). Eu representei acima, os sinais em cada eixo. Pegue o zero como referência, se algum número vem antes do zero é negativo. Veja o eixo X, os números crescem para a direita e decrescem (ou diminuem) para a esquerda, já no eixo Y, os números crescem "subindo".
Em um sistema cartesiano temos um par (dois números) que são representados por x e y, respectivamente. O valor de x é chamado de abscissa e o valor de y é chamado de ordenada. Para você fixar mais fácil os nomes desses valores, lembre-se que o eixo Y está em pé, então ele está "dando ordens". 

Agora vou apresentar a vocês o plano 3D e duas figuras para vocês compararem.


Pessoal,  acima um plano 3D , e duas figuras geométricas: um quadrado plano (2D)  e um quadrado tridimensional (3D), respectivamente.
Por que é tão importante saber sobre o plano cartesiano? Porque é nele que as funções vão ser desenhadas,  seja uma reta (um traço), uma parábola ou qualquer coisa que seja.
Espero que compreendam, qualquer dúvida, criticas é só colocar nos comentários.

segunda-feira, 12 de novembro de 2018

Operações com vetores - Tratamento geométrico

Tratamento geométrico significa o tratamento do vetor no sentido "desenho", ou seja, de representação do vetor, de desenharmos os vetores, desenharmos o vetor soma, vetor subtração, etc. É tudo relacionado ao vetor desenhado.
 Vamos lá:

Adição de vetores:

Primeiramente preste atenção nas origens dos vetores abaixo: (deveria ter uma setinha  em cima das letras u e v, para dizer que se trata de um vetor, porém por falta de atenção acabei não colocando)
Depois devemos considerar o vetor que está na origem e que três dos quatros conjuntos de vetores acima têm algo em comum para efetuarmos a soma deles, mas isso é um detalhe.
Primeiramente, perceba que onde termina o vetor  (extremidade do vetor que está na origem) começa outro, exceto o conjunto de vetores do canto direito em que os dois vetores começam na mesma origem.
A soma dos vetores é então realizada para os três conjuntos de vetores, a partir da origem com o mesmo sentido (extremidade) do segundo vetor. Para o conjunto de vetores que está no canto direito, utilizamos a regra do paralelogramo, conforme veremos a seguir.
A soma dos vetores é apresentada em azul:

Para o conjunto do canto direito, a soma é efetuada da seguinte forma: basta desenhar um paralelogramo, reproduzindo os mesmos vetores. A diagonal do paralelogramo é a soma dos dois vetores ( em azul). Perceba que os vetores na cor cinza são iguais e paralelos a u e v, respectivamente.

Vetores paralelos:

Para vetores paralelos a soma é efetuada conforme a figura a seguir.
Lembre-se que quando o sentido- seta- de um vetor for diferente de outro vetor (como ocorre no segundo exemplo abaixo) o sinal é negativo, observe que tal sinal é negativo por conta da origem (pontinho vermelho), e que o vetor está "apontando" para o sentido negativo (apontando para a esquerda), enquanto o primeiro vetor está apontando para o sentido positivo (direita).


quinta-feira, 29 de março de 2018

Exercícios- Concurso


Na postagem de hoje vamos aprender exercícios básicos de matemática para concursos. Eles podem parecer simples para algumas pessoas, mas são extremamente importantes para criar uma "lógica" nos exercícios de concursos. 


  • (PETROBRAS – Técnico de Segurança – CESGRANRIO) Somando-se dois números inteiros e consecutivos, o resultado encontrado é 131. O maior desses números é:

           (A) 65   (B) 66   (C) 67    (D) 68   (E) 69

Resolução:
Não sabemos qual número que é esse, portanto, esse número é uma incógnita e então chamamos ele de x.
Se o número é x o seu "consecutivo" será x+1.
Montando o exercício:

(x) + (x+1)= 131
 2x+1= 131
2x= 131-1
2x=130
x=130/2
x=65

x= 65
x+1= 65+1=66

Portanto o maior desses números é 66. Alternativa B.

domingo, 8 de outubro de 2017

Resolução comentada

TJ-2017
Trata-se de um exercício em que se utiliza noções de geometria.
O que temos do exercício e o que o exercício pede:

  • Área do triângulo R1 e  medidas de alguns lados desses triângulos-é o que temos;
  • Perímetro do triângulo R2-é o que é pedido;
  • Definição de Perímetro: Perímetro é a soma da medida de todos os lados que compõe uma figura geométrica.
  • Dado o que é pedido, temos que achar a medida dos lados que compõe o triângulo R2;

São dois triângulos que enxergamos, R1 e R2:
figura 01

Tem-se do exercício que a ÁREA de R1 é igual a 54 m², então, pode-se usar a seguinte fórmula usada para calcular a área de um triângulo:

A=$ \frac { 1 }{ 2 }*b*h$

Onde:

  • A é a área do triângulo,
  •  b e a base,
  •  h a altura do triângulo.


Do exercício, temos:

  • que a área do triângulo R1= 54 m²;
  • que a base é x, portanto, b=x
  • que a altura, h=9
 Então aplicamos esses valores na fórmula acima:

54=$ \frac { 1 }{ 2 }*x*9$
$ \frac { 9 }{ 2 }*x*$= 54

Manipulando as equações:

$\\ x=\frac { 54\times 2 }{ 9 } $
Sabemos que $\\ \frac { 108 }{ 9 } = 12 $, portanto
x=12

Se, x= 12,
O lado do segundo triângulo que é x+4 vale 16, pois x+4=  12+4=16

Pelo teorema de Pitágoras podemos descobrir quanto vale o lado do triângulo, o qual não conhecemos a medida, conforme indica a figura a seguir:
figura 02

O teorema de Pitágoras, diz que num triângulo retângulo ( O triângulo que contém um ângulo reto=90°, que na figura acima o ângulo é representado por esse "quadradinho com uma bolinha no meio"), podemos encontrar a medida dos lados de um triângulo retângulo, dada a relação matemática que será vista a seguir. Um triângulo retângulo sempre vai ter a aparência dos triângulos acima.
Portanto, se tratando em achar lados de triângulos, com certeza utiliza-se Pitágoras.

A fórmula do teorema de Pitágoras é a seguinte:
figura 03
Dado a disposição/posição dos lados, a relação matemática é:

a²=b²+c²

Portanto, temos para o nosso exercício:

Por questão de nomenclatura, para evitar possíveis confusão,  manterei o nome dos lados conforme estão colocados na figura 02:
b²= 16²+  12²
Lembrando que 16²= $\\ 16\times 16$
b²= 256 + 144
b²= 400
b=$\\ \sqrt { 400 } $
b=20

Portanto, o PERÍMETRO do triângulo R2:
é a soma de todos os lados do triângulo:

16+12+20=48

ALTERNATIVA B



sexta-feira, 14 de abril de 2017

Vetores

Hoje a postagem será destinada aos estudantes do ensino superior. Trata-se de um dos primeiros assuntos vistos pelos estudantes na área de exatas e que considero muito importante.
A principio a minha intenção é postar resoluções de exercícios;
A intenção aqui é ajudar (dentro dos meus limites e limites do meu conhecimento).
Pois então, vamos direto ao assunto: VETORES.

ALGUMAS coisinhas que você precisa saber sobre eles antes de começarmos resolver os exercícios:
Todo vetor:
  • Possui módulo: comprimento, tamanho e está representado da seguinte forma: |$\overrightarrow { v } $|
  • Direção para onde essa espécie de reta/segmento está apontando). Por exemplo : ↖  → ↑ esses caracteres representam os vetores e  indicam as diferentes direções que os segmentos estão apontando. 
  • E sentido (para frente ou para trás, isto é,  podemos ter retas/segmentos com sentidos iguais ou sentidos contrários). O sentido é sempre indicado por uma seta na sua extremidade →. Exemplo: cada par de retas a seguir possuem a mesma direção: ↑↓, ← →, porém sentidos diferentes. ATENÇÃO a mesma direção é  entre ↑ e ↓.  Também possuem a mesma direção:  ← e  →. Não confundam galera.

Vetores com mesma direção e sentidos diferentes/contrários
  • vetores paralelos são vetores que possuem a mesma direção  e geralmente representa-se $\overrightarrow { u } $ // $\overrightarrow { v } $
  • Dois vetores só são iguais se possuirem o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido e são representados por $\overrightarrow { u } $ = $\overrightarrow { v } $;
  • Um vetor nulo não possui direção e sentido que possam ser definidos, por essa razão o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor e ortogonal a qualquer vetor também;
  • Um vetor é ortogonal a outro se formarem entre si um angulo de 90°; 
  • Um vetor que não seja nulo sempre vai possuir o seu oposto. Um vetor oposto possui mesmo módulo, mesma direção, porém sentidos contrários ou OPOSTOS;
  • Vetor unitário é o que possui módulo igual a 1, isto é |$\overrightarrow { v } $ | =1
  • Um vetor qualquer $\overrightarrow { AB} $, é igual a B - A (conforme a figura a seguir e como veremos nos exercícios)

O que é importante você saber?

  • Dois ou mais vetores só são IGUAIS se possuírem a mesma direção, módulo e sentido. Gravem bem: tem que ter o mesmo tamanho, ir na mesma direção e tem que apontar para a mesma direção, a setinha tem que apontar para o mesmo lugar, e se vocês desenharem os vetores eles serão iguais.
  • Paralelo: basta o vetor ter a mesma direção: a setinha pode estar apontando para o outro lado (sentidos contrários), mas a direção tem q ser a mesma . Exemplo de vetores paralelos:  ↑↓, ← →;
As operações entre vetores serão representadas em tópico posterior com a resolução de exercícios;