Operações com vetores - Tratamento geométrico

Tratamento geométrico significa o tratamento do vetor no sentido "desenho", ou seja, de representação do vetor, de desenharmos os vetores, desenharmos o vetor soma, vetor subtração, etc. É tudo relacionado ao vetor desenhado.
 Vamos lá:

Adição de vetores:

Primeiramente preste atenção nas origens dos vetores abaixo: (deveria ter uma setinha  em cima das letras u e v, para dizer que se trata de um vetor, porém por falta de atenção acabei não colocando)

Depois devemos considerar o vetor que está na origem e que três dos quatros conjuntos de vetores acima têm algo em comum para efetuarmos a soma deles, mas isso é um detalhe.
Primeiramente, perceba que onde termina o vetor  (extremidade do vetor que está na origem) começa outro, exceto o conjunto de vetores do canto direito em que os dois vetores começam na mesma origem.
A soma dos vetores é então realizada para os três conjuntos de vetores, a partir da origem com o mesmo sentido (extremidade) do segundo vetor. Para o conjunto de vetores que está no canto direito, utilizamos a regra do paralelogramo, conforme veremos a seguir.
A soma dos vetores é apresentada em azul:

Para o conjunto do canto direito, a soma é efetuada da seguinte forma: basta desenhar um paralelogramo, reproduzindo os mesmos vetores. A diagonal do paralelogramo é a soma dos dois vetores ( em azul). Perceba que os vetores na cor cinza são iguais e paralelos a u e v, respectivamente.

Vetores paralelos:

Para vetores paralelos a soma é efetuada conforme a figura a seguir.
Lembre-se que quando o sentido- seta- de um vetor for diferente de outro vetor (como ocorre no segundo exemplo abaixo) o sinal é negativo, observe que tal sinal é negativo por conta da origem (pontinho vermelho), e que o vetor está "apontando" para o sentido negativo (apontando para a esquerda), enquanto o primeiro vetor está apontando para o sentido positivo (direita).

Exercícios- Concurso

Na postagem de hoje vamos aprender exercícios básicos de matemática para concursos. Eles podem parecer simples para algumas pessoas, mas são extremamente importantes para criar uma "lógica" nos exercícios de concursos. 

• (PETROBRAS – Técnico de Segurança – CESGRANRIO) Somando-se dois números inteiros e consecutivos, o resultado encontrado é 131. O maior desses números é:

           (A) 65   (B) 66   (C) 67    (D) 68   (E) 69

Resolução:

Não sabemos qual número que é esse, portanto, esse número é uma incógnita e então chamamos ele de x.
Se o número é x o seu "consecutivo" será x+1.
Montando o exercício:

(x) + (x+1)= 131
 2x+1= 131

2x= 131-1
2x=130
x=130/2
x=65

x= 65
x+1= 65+1=66

Portanto o maior desses números é 66. Alternativa B.

Resolução comentada

TJ-2017

Trata-se de um exercício em que se utiliza noções de geometria.
O que temos do exercício e o que o exercício pede:

• Área do triângulo R1 e  medidas de alguns lados desses triângulos-é o que temos;
• Perímetro do triângulo R2-é o que é pedido;
• Definição de Perímetro: Perímetro é a soma da medida de todos os lados que compõe uma figura geométrica.
• Dado o que é pedido, temos que achar a medida dos lados que compõe o triângulo R2;

São dois triângulos que enxergamos, R1 e R2:

figura 01

Tem-se do exercício que a ÁREA de R1 é igual a 54 m², então, pode-se usar a seguinte fórmula usada para calcular a área de um triângulo:

A=$ \frac { 1 }{ 2 }*b*h$

Onde:

• A é a área do triângulo,
•  b e a base,
•  h a altura do triângulo.

Do exercício, temos:

• que a área do triângulo R1= 54 m²;
• que a base é x, portanto, b=x
• que a altura, h=9

 Então aplicamos esses valores na fórmula acima:

54=$ \frac { 1 }{ 2 }*x*9$
$ \frac { 9 }{ 2 }*x*$= 54

Manipulando as equações:

$\\ x=\frac { 54\times 2 }{ 9 } $
Sabemos que $\\ \frac { 108 }{ 9 } = 12 $, portanto
x=12

Se, x= 12,
O lado do segundo triângulo que é x+4 vale 16, pois x+4=  12+4=16

Pelo teorema de Pitágoras podemos descobrir quanto vale o lado do triângulo, o qual não conhecemos a medida, conforme indica a figura a seguir:

figura 02

O teorema de Pitágoras, diz que num triângulo retângulo ( O triângulo que contém um ângulo reto=90°, que na figura acima o ângulo é representado por esse "quadradinho com uma bolinha no meio"), podemos encontrar a medida dos lados de um triângulo retângulo, dada a relação matemática que será vista a seguir. Um triângulo retângulo sempre vai ter a aparência dos triângulos acima.

Portanto, se tratando em achar lados de triângulos, com certeza utiliza-se Pitágoras.

A fórmula do teorema de Pitágoras é a seguinte:

figura 03

Dado a disposição/posição dos lados, a relação matemática é:

a²=b²+c²

Portanto, temos para o nosso exercício:

Por questão de nomenclatura, para evitar possíveis confusão,  manterei o nome dos lados conforme estão colocados na figura 02:

b²= 16²+  12²
Lembrando que 16²= $\\ 16\times 16$
b²= 256 + 144
b²= 400
b=$\\ \sqrt { 400 } $
b=20

Portanto, o PERÍMETRO do triângulo R2:
é a soma de todos os lados do triângulo:

16+12+20=48

ALTERNATIVA B

Vetores

Hoje a postagem será destinada aos estudantes do ensino superior. Trata-se de um dos primeiros assuntos vistos pelos estudantes na área de exatas e que considero muito importante.

A principio a minha intenção é postar resoluções de exercícios;

A intenção aqui é ajudar (dentro dos meus limites e limites do meu conhecimento).

Pois então, vamos direto ao assunto: VETORES.

ALGUMAS coisinhas que você precisa saber sobre eles antes de começarmos resolver os exercícios:

Todo vetor:

• Possui módulo: comprimento, tamanho e está representado da seguinte forma: |$\overrightarrow { v } $|
• Direção para onde essa espécie de reta/segmento está apontando). Por exemplo : ↖  → ↑ esses caracteres representam os vetores e  indicam as diferentes direções que os segmentos estão apontando. 
• E sentido (para frente ou para trás, isto é,  podemos ter retas/segmentos com sentidos iguais ou sentidos contrários). O sentido é sempre indicado por uma seta na sua extremidade →. Exemplo: cada par de retas a seguir possuem a mesma direção: ↑↓, ← →, porém sentidos diferentes. ATENÇÃO a mesma direção é  entre ↑ e ↓.  Também possuem a mesma direção:  ← e  →. Não confundam galera.

Vetores com mesma direção e sentidos diferentes/contrários

• vetores paralelos são vetores que possuem a mesma direção  e geralmente representa-se $\overrightarrow { u } $ // $\overrightarrow { v } $
• Dois vetores só são iguais se possuirem o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido e são representados por $\overrightarrow { u } $ = $\overrightarrow { v } $;
• Um vetor nulo não possui direção e sentido que possam ser definidos, por essa razão o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor e ortogonal a qualquer vetor também;
• Um vetor é ortogonal a outro se formarem entre si um angulo de 90°; 
• Um vetor que não seja nulo sempre vai possuir o seu oposto. Um vetor oposto possui mesmo módulo, mesma direção, porém sentidos contrários ou OPOSTOS;
• Vetor unitário é o que possui módulo igual a 1, isto é |$\overrightarrow { v } $ | =1
• Um vetor qualquer $\overrightarrow { AB} $, é igual a B - A (conforme a figura a seguir e como veremos nos exercícios)
  
  

O que é importante você saber?

• Dois ou mais vetores só são IGUAIS se possuírem a mesma direção, módulo e sentido. Gravem bem: tem que ter o mesmo tamanho, ir na mesma direção e tem que apontar para a mesma direção, a setinha tem que apontar para o mesmo lugar, e se vocês desenharem os vetores eles serão iguais.
• Paralelo: basta o vetor ter a mesma direção: a setinha pode estar apontando para o outro lado (sentidos contrários), mas a direção tem q ser a mesma . Exemplo de vetores paralelos:  ↑↓, ← →;

As operações entre vetores serão representadas em tópico posterior com a resolução de exercícios;

Sobre novas postagens

Novas postagens em breve!(Devido ao pouco  tempo disponível as postagens tem ficado cada vez mais raras), Logo mais teremos postagens.
Aceito sugestões sobre tópicos.

Resoluções de Limites

Um dos limites mais fáceis que existe é o que vem a seguir. Observe:

Isso quer dizer que o limite de uma constante é a própria constante.

Outro limite fácil é o quando não possuí indeterminação. Nesse caso é só substituir o valor de x  em f(x). Observe:

Um pouco mais trabalhoso para quem não sabe fatoração, conforme eu for fazendo os limites eu vou dando as identidades que podemos usar.

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Observe que usamos a fatoração a²-b²= (a+b)(a-b) em x-1.

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Limites- Noção

Olá pessoal, eu vim adiantar as postagens de cálculo, pois ainda há muitas propriedades  para serem estudadas antes de chegar até aqui. Se você ,estudante sofredor , não aguenta mais esperar, ou então esperar é o menor dos problemas: não dá para revisar tudo de uma vez só, ainda mais dispondo de tão pouco tempo como nós, universitários, temos. Então para ajudar vocês eu vou fazer uma postagem sobre resoluções de limites, mas para isso precisamos saber o que é o tal do limite. Se você souber funções é melhor ainda, pois ajuda a compreender melhor o comportamento das funções, entender as tão famosas indeterminações típicas das funções quocientes ou fracionárias, mas se você não souber a boa notícia é que nós vamos aprender sobre funções, eu ainda nem comecei a fazer postagens sobre funções, mas acredito que haja interesse por boa parte sobre Limites.

Chega de enrolação e vamos lá!!!

Afinal o que é um limite e o que uma função? Para isso precisamos entender a seguinte formulação:

O limite é da função, e a função é a função.

Considere a reta y= x. E observe o seu gráfico:

Temos 2 eixos : o eixo y, e o eixo x. O que eu disse ali em cima? para considerarmos a reta Y=x , destacado em vermelho para não esquecer mais...então devemos ter que uma função depende dos valores que x assume ao longo do seu eixo, é por isso que  dizemos que " y está em função de x", ou seja os valores de Y dependem dos valores de X. Então damos a seguinte notação: y= f(x) ou y= g(x), ou h(x), etc...et... . Essa notação diz apenas que  y depende dos valores de x, Simples assim. Quando temos x= p, o valor de y é f(p) ou g(p) (vai depender do seu critério de nomenclatura).

Exemplo:

f(p) significa que estamos substituindo x= p na função > f(x)= x 

No exemplo acima. Quando x=2, o valor de y é f(2)=2. Esse não é exatamente o valor de Y?

Se tivéssemos, y= 2x²+ 3, teríamos f(x)= 2x²+3. Se quisermos saber o valor que ela assume quando x= 1, fazemos:

f(1)= 2 (1)²+3= 5.

Se tivéssemos o gráfico desenhado veríamos que  5 é o valor de y, quando x=1 na função f(x)=  2x²+3.

De forma simples domínio e imagem é:  ( cuidado, nem todas as funções são válidas para qualquer valor de x, ou seja, possuem domínio em qualquer valor de x) 

valores de Y é então: Imagem da função.  

valores de X= domínio da função.

Agora vamos para a questão do limite. Limite é um valor limite, conforme x se aproxima do valor a quem ele está tendendo. Um exemplo: 

( Leia como: " O limite quando x se aproxima de 2" Ou " O limite de f(x), quando x tende a 2 ")

Observe novamente a seguinte imagem:

Temos que o limite é o valor da função f(x) quando x se aproxima de p e f(p) é o valor da função f(x) quando x= p.

Agora podemos perceber que na nossa função acima, para a qual desenhamos o gráfico, o seu limite  quando x se aproxima de 2 é 2. Ou seja, o valor limite é 2, nos arredores de 2, tanto para os valores que tendem a 2 pela esquerda ( valores de x menores que 2) de 2, quanto para os que tendem a 2 pela direita ( valores de x maiores que 2). 

Mais adiante veremos mais sobre limites, e outros conceitos em limites laterais. O post de hoje foi apenas para dar uma básica noção.

Há continuidade das funções quando:

Seja f(x) uma função qualquer e x= p um ponto qualquer.

• Primeiramente a função tem que existir no ponto dado.-->  f(p)
• Existe o limite
• O limite= f(p) Ou seja:

se satisfeita essas condições a função é continua.

Seja: f(x) -3x  em p =1

• i_)  f(1)= -3
• ii_) O lim (x-->1) -3x = -3
• iii_) Lim(x-->1) -3x=  f(1), logo f(x) é contínua em p=1.

Pessoal não deu para escrever o limite bonitinho  igual nas imagens, mas acredito que é dê para entender.

Próximo post, resoluções de alguns limites.