Vetores-Operações com vetores- tratamento Geométrico- Aprenda a adição ou diferença de vetores

 Regras básicas para somar vetores: 

• Verificar a  ORIGEM
• A extremidade de um (onde termina um) com a origem de outro.
• Se há algum vetor negativo, ou subtração de vetores é o mesmo raciocínio para a adição de vetores, a diferença é que se inverte a seta, ou seja, o sentido muda.

Resoluções :

 

Você pode perceber que a origem está nesse ponto vermelho, e que a extremidade de u é onde começa v.  O mesmo ocorre no paralelogramo, perceba que o vetor v (em laranja) começa onde termina o vetor u e que a soma nos dois casos está sendo feita/desenhada a partir da origem. 

 Você deve saber o conceito geométrico de igualdade, paralelismo de vetores para saber resolver os exercícios.

Vamos para a resolução de exercícios:

Considere a origem no ponto A (em vermelho) realizar as seguintes operações: 

Decimais- Parte 01- Aprendendo Frações

 

Hoje vamos falar sobre frações! 

Na realidade tenho algumas postagens sobre o conceito, mas achei apropriado falarmos mais uma vez sobre o conceito.

Como a explicação é com imagens clique em cada imagem para ampliar e visualizar melhor.

Se você deseja aprender operações com frações   clique aqui ou pesquise o assunto em nosso blog, pois temos várias postagens sobre o assunto.

Vamos lá, mais imagens!

Finalizamos a nossa primeira parte sobre frações!

Plano Cartesiano

Vamos ver hoje o chamado plano cartesiano. Isso é praxe em todos os níveis escolares. Ele sempre estará presente nas nossas continhas e é nele que precisamos visualizar a matemática da coisa.

Esse é o plano cartesiano de duas dimensões (2D). Olhe para o chão da sua casa. Ele é 2D. Ser duas dimensões significa que você pode ir pra frente, para trás, para esquerda ou para direita (lados). Já um plano 3D é aquele em que você tem a altura, por isso olhe para o chão da sua casa e para as paredes da sua casa. Ser 3D significa que além de andar para frente ou para trás, e para os lados, você também pode pular, ou abaixar. 

O plano cartesiano é formado por duas retas (essas linhas aí em cima) que são perpendiculares entre si. Ser perpendicular significa que elas formam um ângulo de 90° e um ângulo de 90° é aquele ângulo que os cantos de uma parede quadrada ou retangular formam. Ainda não entendeu? Dois eixos perpendiculares são formados por duas linhas retas, uma horizontal (deitada) e outra vertical (em pé).

Quantos números cabem em um plano cartesiano? Infinitos, não é à toa que em alguns gráficos aparece o símbolo de infinito (aquele 8 deitado que você pode ver na figura acima). Eu representei acima, os sinais em cada eixo. Pegue o zero como referência, se algum número vem antes do zero é negativo. Veja o eixo X, os números crescem para a direita e decrescem (ou diminuem) para a esquerda, já no eixo Y, os números crescem "subindo".

Em um sistema cartesiano temos um par (dois números) que são representados por x e y, respectivamente. O valor de x é chamado de abscissa e o valor de y é chamado de ordenada. Para você fixar mais fácil os nomes desses valores, lembre-se que o eixo Y está em pé, então ele está "dando ordens". 

Agora vou apresentar a vocês o plano 3D e duas figuras para vocês compararem.

Pessoal,  acima um plano 3D , e duas figuras geométricas: um quadrado plano (2D)  e um quadrado tridimensional (3D), respectivamente.
Por que é tão importante saber sobre o plano cartesiano? Porque é nele que as funções vão ser desenhadas,  seja uma reta (um traço), uma parábola ou qualquer coisa que seja.
Espero que compreendam, qualquer dúvida, criticas é só colocar nos comentários.

Operações com vetores - Tratamento geométrico

Tratamento geométrico significa o tratamento do vetor no sentido "desenho", ou seja, de representação do vetor, de desenharmos os vetores, desenharmos o vetor soma, vetor subtração, etc. É tudo relacionado ao vetor desenhado.
 Vamos lá:

Adição de vetores:

Primeiramente preste atenção nas origens dos vetores abaixo: (deveria ter uma setinha  em cima das letras u e v, para dizer que se trata de um vetor, porém por falta de atenção acabei não colocando)

Depois devemos considerar o vetor que está na origem e que três dos quatros conjuntos de vetores acima têm algo em comum para efetuarmos a soma deles, mas isso é um detalhe.
Primeiramente, perceba que onde termina o vetor  (extremidade do vetor que está na origem) começa outro, exceto o conjunto de vetores do canto direito em que os dois vetores começam na mesma origem.
A soma dos vetores é então realizada para os três conjuntos de vetores, a partir da origem com o mesmo sentido (extremidade) do segundo vetor. Para o conjunto de vetores que está no canto direito, utilizamos a regra do paralelogramo, conforme veremos a seguir.
A soma dos vetores é apresentada em azul:

Para o conjunto do canto direito, a soma é efetuada da seguinte forma: basta desenhar um paralelogramo, reproduzindo os mesmos vetores. A diagonal do paralelogramo é a soma dos dois vetores ( em azul). Perceba que os vetores na cor cinza são iguais e paralelos a u e v, respectivamente.

Vetores paralelos:

Para vetores paralelos a soma é efetuada conforme a figura a seguir.
Lembre-se que quando o sentido- seta- de um vetor for diferente de outro vetor (como ocorre no segundo exemplo abaixo) o sinal é negativo, observe que tal sinal é negativo por conta da origem (pontinho vermelho), e que o vetor está "apontando" para o sentido negativo (apontando para a esquerda), enquanto o primeiro vetor está apontando para o sentido positivo (direita).

Exercícios- Concurso

Na postagem de hoje vamos aprender exercícios básicos de matemática para concursos. Eles podem parecer simples para algumas pessoas, mas são extremamente importantes para criar uma "lógica" nos exercícios de concursos. 

• (PETROBRAS – Técnico de Segurança – CESGRANRIO) Somando-se dois números inteiros e consecutivos, o resultado encontrado é 131. O maior desses números é:

           (A) 65   (B) 66   (C) 67    (D) 68   (E) 69

Resolução:

Não sabemos qual número que é esse, portanto, esse número é uma incógnita e então chamamos ele de x.
Se o número é x o seu "consecutivo" será x+1.
Montando o exercício:

(x) + (x+1)= 131
 2x+1= 131

2x= 131-1
2x=130
x=130/2
x=65

x= 65
x+1= 65+1=66

Portanto o maior desses números é 66. Alternativa B.

Resolução comentada

TJ-2017

Trata-se de um exercício em que se utiliza noções de geometria.
O que temos do exercício e o que o exercício pede:

• Área do triângulo R1 e  medidas de alguns lados desses triângulos-é o que temos;
• Perímetro do triângulo R2-é o que é pedido;
• Definição de Perímetro: Perímetro é a soma da medida de todos os lados que compõe uma figura geométrica.
• Dado o que é pedido, temos que achar a medida dos lados que compõe o triângulo R2;

São dois triângulos que enxergamos, R1 e R2:

figura 01

Tem-se do exercício que a ÁREA de R1 é igual a 54 m², então, pode-se usar a seguinte fórmula usada para calcular a área de um triângulo:

A=$ \frac { 1 }{ 2 }*b*h$

Onde:

• A é a área do triângulo,
•  b e a base,
•  h a altura do triângulo.

Do exercício, temos:

• que a área do triângulo R1= 54 m²;
• que a base é x, portanto, b=x
• que a altura, h=9

 Então aplicamos esses valores na fórmula acima:

54=$ \frac { 1 }{ 2 }*x*9$
$ \frac { 9 }{ 2 }*x*$= 54

Manipulando as equações:

$\\ x=\frac { 54\times 2 }{ 9 } $
Sabemos que $\\ \frac { 108 }{ 9 } = 12 $, portanto
x=12

Se, x= 12,
O lado do segundo triângulo que é x+4 vale 16, pois x+4=  12+4=16

Pelo teorema de Pitágoras podemos descobrir quanto vale o lado do triângulo, o qual não conhecemos a medida, conforme indica a figura a seguir:

figura 02

O teorema de Pitágoras, diz que num triângulo retângulo ( O triângulo que contém um ângulo reto=90°, que na figura acima o ângulo é representado por esse "quadradinho com uma bolinha no meio"), podemos encontrar a medida dos lados de um triângulo retângulo, dada a relação matemática que será vista a seguir. Um triângulo retângulo sempre vai ter a aparência dos triângulos acima.

Portanto, se tratando em achar lados de triângulos, com certeza utiliza-se Pitágoras.

A fórmula do teorema de Pitágoras é a seguinte:

figura 03

Dado a disposição/posição dos lados, a relação matemática é:

a²=b²+c²

Portanto, temos para o nosso exercício:

Por questão de nomenclatura, para evitar possíveis confusão,  manterei o nome dos lados conforme estão colocados na figura 02:

b²= 16²+  12²
Lembrando que 16²= $\\ 16\times 16$
b²= 256 + 144
b²= 400
b=$\\ \sqrt { 400 } $
b=20

Portanto, o PERÍMETRO do triângulo R2:
é a soma de todos os lados do triângulo:

16+12+20=48

ALTERNATIVA B

Vetores

Hoje a postagem será destinada aos estudantes do ensino superior. Trata-se de um dos primeiros assuntos vistos pelos estudantes na área de exatas e que considero muito importante.

A principio a minha intenção é postar resoluções de exercícios;

A intenção aqui é ajudar (dentro dos meus limites e limites do meu conhecimento).

Pois então, vamos direto ao assunto: VETORES.

ALGUMAS coisinhas que você precisa saber sobre eles antes de começarmos resolver os exercícios:

Todo vetor:

• Possui módulo: comprimento, tamanho e está representado da seguinte forma: |$\overrightarrow { v } $|
• Direção para onde essa espécie de reta/segmento está apontando). Por exemplo : ↖  → ↑ esses caracteres representam os vetores e  indicam as diferentes direções que os segmentos estão apontando. 
• E sentido (para frente ou para trás, isto é,  podemos ter retas/segmentos com sentidos iguais ou sentidos contrários). O sentido é sempre indicado por uma seta na sua extremidade →. Exemplo: cada par de retas a seguir possuem a mesma direção: ↑↓, ← →, porém sentidos diferentes. ATENÇÃO a mesma direção é  entre ↑ e ↓.  Também possuem a mesma direção:  ← e  →. Não confundam galera.

Vetores com mesma direção e sentidos diferentes/contrários

• vetores paralelos são vetores que possuem a mesma direção  e geralmente representa-se $\overrightarrow { u } $ // $\overrightarrow { v } $
• Dois vetores só são iguais se possuirem o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido e são representados por $\overrightarrow { u } $ = $\overrightarrow { v } $;
• Um vetor nulo não possui direção e sentido que possam ser definidos, por essa razão o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor e ortogonal a qualquer vetor também;
• Um vetor é ortogonal a outro se formarem entre si um angulo de 90°; 
• Um vetor que não seja nulo sempre vai possuir o seu oposto. Um vetor oposto possui mesmo módulo, mesma direção, porém sentidos contrários ou OPOSTOS;
• Vetor unitário é o que possui módulo igual a 1, isto é |$\overrightarrow { v } $ | =1
• Um vetor qualquer $\overrightarrow { AB} $, é igual a B - A (conforme a figura a seguir e como veremos nos exercícios)
  
  

O que é importante você saber?

• Dois ou mais vetores só são IGUAIS se possuírem a mesma direção, módulo e sentido. Gravem bem: tem que ter o mesmo tamanho, ir na mesma direção e tem que apontar para a mesma direção, a setinha tem que apontar para o mesmo lugar, e se vocês desenharem os vetores eles serão iguais.
• Paralelo: basta o vetor ter a mesma direção: a setinha pode estar apontando para o outro lado (sentidos contrários), mas a direção tem q ser a mesma . Exemplo de vetores paralelos:  ↑↓, ← →;

As operações entre vetores serão representadas em tópico posterior com a resolução de exercícios;

Sobre novas postagens

Novas postagens em breve!(Devido ao pouco  tempo disponível as postagens tem ficado cada vez mais raras), Logo mais teremos postagens.
Aceito sugestões sobre tópicos.

Resoluções de Limites

Um dos limites mais fáceis que existe é o que vem a seguir. Observe:

Isso quer dizer que o limite de uma constante é a própria constante.

Outro limite fácil é o quando não possuí indeterminação. Nesse caso é só substituir o valor de x  em f(x). Observe:

Um pouco mais trabalhoso para quem não sabe fatoração, conforme eu for fazendo os limites eu vou dando as identidades que podemos usar.

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Observe que usamos a fatoração a²-b²= (a+b)(a-b) em x-1.

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Limites- Noção

Olá pessoal, eu vim adiantar as postagens de cálculo, pois ainda há muitas propriedades  para serem estudadas antes de chegar até aqui. Se você ,estudante sofredor , não aguenta mais esperar, ou então esperar é o menor dos problemas: não dá para revisar tudo de uma vez só, ainda mais dispondo de tão pouco tempo como nós, universitários, temos. Então para ajudar vocês eu vou fazer uma postagem sobre resoluções de limites, mas para isso precisamos saber o que é o tal do limite. Se você souber funções é melhor ainda, pois ajuda a compreender melhor o comportamento das funções, entender as tão famosas indeterminações típicas das funções quocientes ou fracionárias, mas se você não souber a boa notícia é que nós vamos aprender sobre funções, eu ainda nem comecei a fazer postagens sobre funções, mas acredito que haja interesse por boa parte sobre Limites.

Chega de enrolação e vamos lá!!!

Afinal o que é um limite e o que uma função? Para isso precisamos entender a seguinte formulação:

O limite é da função, e a função é a função.

Considere a reta y= x. E observe o seu gráfico:

Temos 2 eixos : o eixo y, e o eixo x. O que eu disse ali em cima? para considerarmos a reta Y=x , destacado em vermelho para não esquecer mais...então devemos ter que uma função depende dos valores que x assume ao longo do seu eixo, é por isso que  dizemos que " y está em função de x", ou seja os valores de Y dependem dos valores de X. Então damos a seguinte notação: y= f(x) ou y= g(x), ou h(x), etc...et... . Essa notação diz apenas que  y depende dos valores de x, Simples assim. Quando temos x= p, o valor de y é f(p) ou g(p) (vai depender do seu critério de nomenclatura).

Exemplo:

f(p) significa que estamos substituindo x= p na função > f(x)= x 

No exemplo acima. Quando x=2, o valor de y é f(2)=2. Esse não é exatamente o valor de Y?

Se tivéssemos, y= 2x²+ 3, teríamos f(x)= 2x²+3. Se quisermos saber o valor que ela assume quando x= 1, fazemos:

f(1)= 2 (1)²+3= 5.

Se tivéssemos o gráfico desenhado veríamos que  5 é o valor de y, quando x=1 na função f(x)=  2x²+3.

De forma simples domínio e imagem é:  ( cuidado, nem todas as funções são válidas para qualquer valor de x, ou seja, possuem domínio em qualquer valor de x) 

valores de Y é então: Imagem da função.  

valores de X= domínio da função.

Agora vamos para a questão do limite. Limite é um valor limite, conforme x se aproxima do valor a quem ele está tendendo. Um exemplo: 

( Leia como: " O limite quando x se aproxima de 2" Ou " O limite de f(x), quando x tende a 2 ")

Observe novamente a seguinte imagem:

Temos que o limite é o valor da função f(x) quando x se aproxima de p e f(p) é o valor da função f(x) quando x= p.

Agora podemos perceber que na nossa função acima, para a qual desenhamos o gráfico, o seu limite  quando x se aproxima de 2 é 2. Ou seja, o valor limite é 2, nos arredores de 2, tanto para os valores que tendem a 2 pela esquerda ( valores de x menores que 2) de 2, quanto para os que tendem a 2 pela direita ( valores de x maiores que 2). 

Mais adiante veremos mais sobre limites, e outros conceitos em limites laterais. O post de hoje foi apenas para dar uma básica noção.

Há continuidade das funções quando:

Seja f(x) uma função qualquer e x= p um ponto qualquer.

• Primeiramente a função tem que existir no ponto dado.-->  f(p)
• Existe o limite
• O limite= f(p) Ou seja:

se satisfeita essas condições a função é continua.

Seja: f(x) -3x  em p =1

• i_)  f(1)= -3
• ii_) O lim (x-->1) -3x = -3
• iii_) Lim(x-->1) -3x=  f(1), logo f(x) é contínua em p=1.

Pessoal não deu para escrever o limite bonitinho  igual nas imagens, mas acredito que é dê para entender.

Próximo post, resoluções de alguns limites.

Equações Literais

Hoje nós vamos ver o que é uma equação literal. Afinal o que é uma equação literal?

Equação literal, é o tipo de equação que possui várias outras letras, além de x e y, números.... Vamos ver um exemplo de equação literal:

x+4= a

Afinal quem é a incógnita?  A incógnita no nosso caso pode ser x ou pode ser a letra a. Nos exercícios da sua vida estudantil, você sempre vai saber quem é incógnita e quem é número. Por isso não se assuste.

Um exemplo do que eu considero usável em equação literal é você evidenciar, ou desestruturar uma formula em função de outra incógnita ou variável. Se por exemplo se num exercício você tem uma formula qualquer, a equação da velocidade media,  por exemplo. V= d/t,  de forma bem brusca: velocidade é a razão entre o deslocamento ou distancia percorrida e o tempo total gasto para isso. 

Se você possui a distancia e a velocidade, qual seria o tempo necessário para percorrer tal distancia, em tal velocidade? A resposta se encontra no final dessa postagem. Você vai entender que as equações literais são muito importantes para a resolução desses problemas. Segue abaixo a resolução de algumas equações literais, com as seguintes regras:

• A incógnita é sempre o valor desconhecido da equação e é sempre dada. É o que você vai fazer quando falarem para você escrever uma incógnita em função dos outros termos de uma equação.
• O processo de resolução é bem simples. Segue a mesma base da resolução de equações de primeiro grau.
• O intuito é sempre deixar a incógnita positiva e sempre isolada.
• Veja o que ocorre nos seguintes casos ao lado.
• De maneira bem simples quando mudamos algum dos termos de lugar mudamos também o sinal do número ( ver as 2 ultimas equações em que mudamos o 4 de lugar) Veja que no caso do 4 ser positivo ele vai ser subtraído nos dois lados da equação, ou igualdade,  por isso que fica 0 no lado em que x está. Não ocorre nada com 1 porque não mudamos o 1 de lugar. Quando 4 é negativo somamos 4 nos dois lados da igualdade, por isso que conseguimos obter 4 no outro lado da igualdade e zerar no lado em que x está. Mas de forma bem simples basta mudar o 4 de lugar e trocar o sinal.
• Mas se tratando de divisão e multiplicação da incógnita o mesmo não ocorre, ela não vai com o sinal trocado. Veja os 2 primeiros exemplos.  Quando estamos dividindo a incógnita por uma constante qualquer  ela passa para o outro lado da igualdade multiplicando os termos existentes do outro lado. Veja no primeiro exemplo que estamos multiplicando 4 por 3. 
• Quando a incógnita está sendo multiplicada ela vai passar para o outro lado da igualdade, dividindo todos os termos. Veja o segundo exemplo.

Talvez você se pergunte : o que tem a ver essas regras com equações literais? A resposta é: tudo a ver.  Em uma equação literal qualquer letra diferente da incógnita é considerada constante, por isso segue as mesmas regras acima para trabalhar nesse tipo de equação. Abaixo alguns exemplos de equações literais resolvidas, A incógnita está destacada dentro dessa bolinha. Perceba que o intuito foi sempre deixar a incógnita positiva e depois trabalhar com os demais termos. ( Veja o terceiro exemplo abaixo)

Outros exemplos:

Agora vamos ver um exemplo de uma equação literal em função de uma letra qualquer, que no caso dado é c:

Agora voltando no que foi proposto lá em cima, 

Teste o resultado acima com um exercício de física básica.

Equações de 1º grau

Olá pessoal. me perdoe pela demora em relação as postagens, mas  eu também preciso estudar hehehe..

Hoje a nossa postagem vai ser sobre equações de primeiro grau, afinal, o que é uma equação?

Quando temos uma igualdade ( sinal de = ) que envolvem expressões matemáticas, formadas por incógnitas e números, temos uma equação

 Resolver uma equação é encontrar o valor que a torna verdadeira.

A diferença entre uma equação e uma função, é que a função aceita diversos valores ao longo da reta do eixo x, (dentro do domínio é claro, mais para frente vocês aprendem o que é domímio) enquanto uma equação aceita apenas o valor que a torna verdadeira.

Vamos ver agora o exemplo de uma equação?

Você saberia dizer qual valor torna essa equação verdadeira, ou seja. igual a 1?

Resolvendo a equação:

5x+3 (-1)= 1+(-1) --> somamos (-1) em ambos os lados da equação para encontrar a raíz, mas de modo simplificado eu prefiro apenas trocar os termos de lugar com sinal contrário, conforme mudamos o termo de lugar.

A regra é a seguinte:  temos  5x+ 3 = 1  e o sinal da igualdade que impõe um "limite", ou seja, separa o 5x+3 e o 1. Cada vez que trocarmos de lugar algum dos termos mudamos o sinal.

Resolvendo a equação:

se substituirmos x=-2/5 na equação acima veremos se ela se torna verdadeira, se não se tornar ela é falsa!

Lembrando que O LADO DIREITO DEVE SER IGUAL AO LADO ESQUERDO, POR ISSO substituirmos o valor de x=-2/5 apenas no lado que aparece a incógnita X, no caso : lado esquerdo.

Veja  (lado esquerdo):

temos que lado esquerdo é =1 e lado direito é igual a 1. então a solução é verdadeira.

Mais resoluções:

Agora vejamos o seguinte exemplo, quando achamos o valor de x, substituímos nos dois lados, tanto um lado quanto o outro tem que ser igual.

Lado esquerdo= 7/2 e 

lado direito, como x = -1/2 na hora de substituirmos ele fica positivo, logo: 3/2+2= 7/2

Pessoal revejam frações caso estejam com dificuldade, pois é muito importante vocês conhecerem as propriedades. Veja a diferença entre as operações dessas duas equações:

Bom pessoal, por hoje é só

Não deixem de visitar o blog, qualquer coisa comentem!!!!

Simplificação algébrica

Um tópico fundamental na álgebra, simplificar uma expressão algébrica, como o próprio nome já diz serve para tornar mais simples os nossos cálculos, com as tais letras no meio, que faz muita gente torcer o nariz, odiar a bonita matemática, chorar em uma prova, e etc...etc....
Mas calma meus amiguinhos, as coisas são mais simples do que vocês pensam:
Quem sabe somar números, sabe somar letras, a diferença é que trabalhar com números e letras pode confundir um pouco. Nessa postagem vamos aprender a trabalhar com tais simplificações.

Observe a imagem abaixo:

Como podemos observar, não existe segredo em somar ou subtrair letras. A regra para operar com letras segue a mesma regra para  trabalhar com "somente números".

Quando tivermos uma expressão onde há letras e números, devemos sempre somar ou subtrair letras iguais:

Na imagem acima, grifei para vocês perceberem que somamos apenas números iguais.
Segue abaixo outros exemplos:

clique na imagem para ampliar

multiplicando uma letra por um número:

2 . a= 2a
9. a+ 5= 9a+5
5. (2a)+3= 10a+3

Não se esqueçam de multiplicar o sinal que está antes do parênteses pela expressão que se encontra dentro,  lembrando que o sinal positivo é neutro, por isso preserva sempre o mesmo sinal da expressão, e colocar sempre os termos em ordem alfabética, como no exemplo acima.
Abaixo um exemplo de quando a expressão está multiplicando e quando ela se encontra na forma fracionária:

Clique na imagem para ampliar - Observação: houve um erro de digitação e o resultado acima é  x+5, ao invés de x-5

Clique na imagem para ampliar

Conseguiram ver a semelhança entre operações com somente números?

O mesmo aconteceria se tivéssemos somando x², y³, e qualquer outro número, como por exemplo:

x²+ 2x+ 2x²+ 3y³ =  3x²+2x+3y³

Outro exemplo:

3x²+2x²+1= 5x²+1

Viram? não importa qual seja a letra, e se ela está ou não elevada a algum número as operações de soma e subtração serão as mesmas.